Question

11．如圖所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中，AA'⊥底面ABC，AB=BC=AA'，∠ABC=90°，O是側面ABB'A'的中心，點D、E、F分別是棱A'C'、AB、BB'的中點．
（1）證明OD∥平面BCC'B'；
（2）求直線EF和AC所成的角．

Answer 1

分析 （1）側面AA′B′B為正方形，連結A′B，則O為A′B的中點，從而OD∥BC′，由此能證明OD∥平面BCC'B'．
（2）取BC中點M，連結EM、FM，則∠FEM為異面直線EF與AC所成的角，由此能求出直線EF和AC所成的角．

解答 證明：（1）依題意可知側面AA′B′B為正方形，連結A′B，則O為A′B的中點，在△A′BC′中，O、D分別是邊A′B、A′C′的中點，
∴OD∥BC′，
∵BC′?平面BCC'B'，OD?平面BCC'B'，
∴OD∥平面BCC'B'．
解：（2）取BC中點M，連結EM、FM，
則∠FEM為異面直線EF與AC所成的角，
設AB=2，則EM=EF=FM=$\sqrt{2}$，∴∠FEM=60°，
∴直線EF和AC所成的角為60°．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查推理論證能力、運算求解能力，是中檔題．