Question

1．已知函數f（x）=xln x．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若對所有的x≥1都有f（x）≥ax-1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；
（2）問題轉化為a≤ln x+$\frac{1}{x}$對于x∈[1，+∞）恒成立，令g（x）=ln x+$\frac{1}{x}$，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=1+ln x，
令f′（x）＞0，解得x＞$\frac{1}{e}$，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜$\frac{1}{e}$，
從而f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上遞減；在（$\frac{1}{e}$，+∞）上遞增；
（2）由題意得f（x）≥ax-1在[1，+∞）上恒成立，
即不等式a≤ln x+$\frac{1}{x}$對于x∈[1，+∞）恒成立，
令g（x）=ln x+$\frac{1}{x}$，
則g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x2}$=$\frac{x-1}{x2}$，
當x＞1時，g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上是單調遞增的，
所以g（x）的最小值為g（1）=1，
則a≤1．
故a的取值范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，考查轉化思想，是一道中檔題．