Question

20．已知函數f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$．
（1）求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）若對于任意的x∈[1，+∞）及t∈[1，2]，不等式f（x）≥t²-2mt+2恒成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數的導數，得到函數的單調區間，從而求出函數的極值；
（2）將問題轉化為t²-2mt+1≤0對?t∈[1，2]恒成立，得不等式組，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$=0⇒x=$\frac{1}{2}$，
列表如下：

x	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值2-2ln2	↗

所以，f（x）單調遞減區間為（0，$\frac{1}{2}$），單調遞增區間為（$\frac{1}{2}$，+∞），極小值是2-2ln2，無極大值．
（2）由（1）可知f（x）在（1，+∞）上單調遞增，
所以t²-2mt+2≤f（x）_min=f（1）=1即t²-2mt+1≤0對?t∈[1，2]恒成立，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{1-2m+1≤0}\\{4-4m+1≤0}\end{array}\right.$，解得m≥$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了函數的單調性，函數的極值問題，考查了導數的應用，不等式恒成立問題，是一道綜合題．