Question

5．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且是以2為周期的周期函數，若當x∈[0，1）時，f（x）=2^x-1，則f（${log_{\frac{1}{2}}}$5）的值為-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由題意可得：f（${log_{\frac{1}{2}}}$5）=f（-log₂5）=-f（log₂5）．結合函數的周期性，根據題中的條件代入函數解析式可得答案．

解答 解：由題意可得：f（${log_{\frac{1}{2}}}$5）=f（-log₂5），
因為f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（${log_{\frac{1}{2}}}$5）=-f（log₂5）．
又因為f（x）是周期為2的周期函數，所以f（log₂5）=f（log₂5-2）=f（log₂$\frac{5}{4}$）．
因為0＜log₂$\frac{5}{4}$＜1，并且當x∈[0，1）時，f（x）=2^x-1，所以f（log₂5）=f（log₂$\frac{5}{4}$）=$\frac{5}{4}$-1=$\frac{1}{4}$，
所以 f（${log_{\frac{1}{2}}}$5）=f（-log₂5）=-$\frac{1}{4}$．
故答案為：-$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查函數的有關性質，如奇偶性、周期性，以及對數的有關運算性質，此題屬于基礎題型．