Question

16．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁、F₂，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過F₂的直線交橢圓E于A、B兩點，且三角形ABF₁的周長為8$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在直線l₁：y=x+m與橢圓E交于不同的C、D兩點，且過線段CD的中點M與F₂的直線l₂垂直于直線l₁？若有，求出m的值，若無，請分析說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知結合橢圓定義求得a，再由離心率求得c，由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）、M（x₀，y₀），聯立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求出M的坐標，再由兩直線斜率的關系求得m值，由所求m值不滿足判別式大于0，可得不存在直線l₁與橢圓E交于不同的C、D兩點，且過線段CD的中點M與F₂的直線l₂垂直于直線l₁．

解答 解：（1）依題意得：$|A{F}_{1}|+|A{F}_{2}|+|B{F}_{1}|+|B{F}_{2}|=2a+2a=4a=8\sqrt{2}$，得a=$2\sqrt{2}$．
 又∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c=2，∴b²=a²-c²=4．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）、M（x₀，y₀），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消去y得3x²+4mx+2m²-8=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}$，${y}_{1}+{y}_{2}=（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m=-\frac{4m}{3}+2m=\frac{2m}{3}$．

∴${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{2m}{3}，{y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=\frac{m}{3}$，
∴M（$-\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}$）．
∵直線l₂垂直于直線l₁，∴${k}_{{l}_{2}}=\frac{\frac{m}{3}-0}{-\frac{2m}{3}-2}=-1$，得m=-6．
又∵直線l₁與橢圓E交于不同的C、D兩點，
∴△=96-8m²＞0，解得-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$．
m=-6∉（-$2\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
∴不存在直線l₁與橢圓E交于不同的C、D兩點，且過線段CD的中點M與F₂的直線l₂垂直于直線l₁．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查了直線與橢圓位置關系的應用，考查直線垂直與斜率的關系，是中檔題．