Question

6．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點（1，$\frac{3}{2}$），左、右焦點為F₁、F₂，右頂點為A，上頂點為B，且|AB|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$|F₁F₂|．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點M（-4，0）作斜率為k（k≠0）的直線l，交橢圓E于P、Q兩點，N為PQ中點，問是否存在實數k，使得以F₁F₂為直徑的圓經過N點，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓焦點在x軸上，將點（1，$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，由$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}•2c$，c²=a²-b²，聯立即可求得a和b的值，即可求得橢圓E的方程；
（2）由題意可得直線l的方程為：y=k（x+4），且k≠0代入橢圓方程．△＞0，可得${k^2}＜\frac{1}{4}$，且k≠0由韋達定理及中點坐標公式線段PQ的中點N（x₀，y₀），假設存在實數k，使得F₁F₂為直徑的圓過N點，則${k_{{F_1}N}}．{k_{{F_2}N}}_{\;}=-1$．由${k_{{F_1}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}+1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+1}}=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}$，${k_{{F_2}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}-1}}=\frac{12k}{{-20{k^2}-3}}$，代入可知：設t=k²，則80t²+40t-3=0，關于t的方程存在正解，存在實數k，使得以F₁F₂為直徑的圓經過N點．

解答 解：（1）橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，
∵橢圓E過點$（{1，\frac{3}{2}}）$，
∴將點（1，$\frac{3}{2}$），代入橢圓方程得$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，①
由已知$|AB|=\frac{{\sqrt{7}}}{2}|{F_1}{F_2}|$，
∴$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}•2c$，即a²+b²=7c²②
又∵c²=a²-b²③，
將①②③聯立得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（5分）
（2）證明：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y），線段PQ的中點N（x₀，y₀）．
由題意可得直線l的方程為：y=k（x+4），且k≠0．
聯立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=k（x+4）\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，
由△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，可得${k^2}＜\frac{1}{4}$，且k≠0．
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{{32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$${x_1}．{x_2}=\frac{{64{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．                           …（7分）
∴${x_o}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${y_0}=k（{x_o}+4）=\frac{12k}{{3+4{k^2}}}$
假設存在實數k，使得F₁F₂為直徑的圓過N點，
即F₁N⊥F₂N，則${k_{{F_1}N}}．{k_{{F_2}N}}_{\;}=-1$，…（9分）
∵${k_{{F_1}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}+1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+1}}=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}$，${k_{{F_2}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}-1}}=\frac{12k}{{-20{k^2}-3}}$
∴$\frac{4k}{{1-4{k^2}}}×\frac{12k}{{-20{k^2}-3}}=-1$，化為80k⁴+40k²-3=0，…（11分）
設t=k²，則80t²+40t-3=0，
∴關于t的方程存在正解，這樣實數k存在．
即存在實數k，使得以F₁F₂為直徑的圓經過N點．  …（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，中點坐標公式及直線的斜率公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．