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6.已知橢圓E:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)過點(1,$\frac{3}{2}$),左、右焦點為F1、F2,右頂點為A,上頂點為B,且|AB|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$|F1F2|.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過點M(-4,0)作斜率為k(k≠0)的直線l,交橢圓E于P、Q兩點,N為PQ中點,問是否存在實數k,使得以F1F2為直徑的圓經過N點,說明理由.

分析 (1)由題意可知:橢圓焦點在x軸上,將點(1,$\frac{3}{2}$)代入橢圓方程$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$,由$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}•2c$,c2=a2-b2,聯立即可求得a和b的值,即可求得橢圓E的方程;
(2)由題意可得直線l的方程為:y=k(x+4),且k≠0代入橢圓方程.△>0,可得${k^2}<\frac{1}{4}$,且k≠0由韋達定理及中點坐標公式線段PQ的中點N(x0,y0),假設存在實數k,使得F1F2為直徑的圓過N點,則${k_{{F_1}N}}.{k_{{F_2}N}}_{\;}=-1$.由${k_{{F_1}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}+1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+1}}=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}$,${k_{{F_2}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}-1}}=\frac{12k}{{-20{k^2}-3}}$,代入可知:設t=k2,則80t2+40t-3=0,關于t的方程存在正解,存在實數k,使得以F1F2為直徑的圓經過N點.

解答 解:(1)橢圓E:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)焦點在x軸上,
∵橢圓E過點$({1,\frac{3}{2}})$,
∴將點(1,$\frac{3}{2}$),代入橢圓方程得$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$,①
由已知$|AB|=\frac{{\sqrt{7}}}{2}|{F_1}{F_2}|$,
∴$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}•2c$,即a2+b2=7c2
又∵c2=a2-b2③,
將①②③聯立得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$,
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…(5分)
(2)證明:設P(x1,y1),Q(x2,y),線段PQ的中點N(x0,y0).
由題意可得直線l的方程為:y=k(x+4),且k≠0.
聯立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=k(x+4)\end{array}\right.$,整理得:(3+4k2)x2+32k2x+64k2-12=0,
由△=(32k22-4(3+4k2)(64k2-12)>0,可得${k^2}<\frac{1}{4}$,且k≠0.
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{{32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$${x_1}.{x_2}=\frac{{64{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$.                           …(7分)
∴${x_o}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$,${y_0}=k({x_o}+4)=\frac{12k}{{3+4{k^2}}}$
假設存在實數k,使得F1F2為直徑的圓過N點,
即F1N⊥F2N,則${k_{{F_1}N}}.{k_{{F_2}N}}_{\;}=-1$,…(9分)
∵${k_{{F_1}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}+1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+1}}=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}$,${k_{{F_2}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}-1}}=\frac{12k}{{-20{k^2}-3}}$
∴$\frac{4k}{{1-4{k^2}}}×\frac{12k}{{-20{k^2}-3}}=-1$,化為80k4+40k2-3=0,…(11分)
設t=k2,則80t2+40t-3=0,
∴關于t的方程存在正解,這樣實數k存在.
即存在實數k,使得以F1F2為直徑的圓經過N點.  …(12分)

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質,考查直線與橢圓的位置關系,考查韋達定理,中點坐標公式及直線的斜率公式的應用,考查計算能力,屬于中檔題.

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