Question

1．要做一個無蓋型容器，將長為15cm，寬為8cm的長方形鐵皮先在四角分別截去一個相同的小正方形后再進行焊接，當該容器容積最大時高為$\frac{5}{3}$cm．

Answer 1

分析 設容器的高為x，（0＜x＜4），則該容器容積V=（15-2x）（8-2x）x=4x³-46x²+120x，V′=12x²-92x+120，由此能求出當x=$\frac{5}{3}$cm時，該容器容積最大．

解答 解：設容器的高為x，（0＜x＜4），
則當該容器容積V=（15-2x）（8-2x）x=4x³-46x²+120x，
V′=12x²-92x+120，
由V′=0，得x=$\frac{5}{3}$或x=6（舍），
∵x∈（0，$\frac{5}{3}$）時，V′＞0；x∈（$\frac{5}{3}$，4）時，V′＜0．
∴當x=$\frac{5}{3}$cm時，該容器容積最大．
故答案為：$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查容器的容積最大時高的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．