Question

10．設S_n為各項不相等的等差數列{a_n}的前n項和，已知a₃a₅=3a₇，S₃=9．
（1）求數列{a_n}通項公式；
（2）設T_n為數列{${\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）通過設{a_n}的公差為d，利用a₃a₅=3a₇與S₃=9聯立方程組，進而可求出首項和公差，進而可得結論；
（2）通過（1）裂項、并項相加可知．

解答 解：（1）設{a_n}的公差為d，則由題意知$\left\{\begin{array}{l}（{a_1}+2d）（{a_1}+4d）=3（{a_1}+6d）\\ 3{a_1}+\frac{3×2}{2}d=9\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}d=0\\{a_1}=3\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}d=1\\{a_1}=2\end{array}\right.$，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．
（2）∵$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴${T_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$
=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）++（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2（n+2）}$．
即T_n=$\frac{n}{2（n+2）}$．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查裂項相消法，涉及基本不等式等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．