Question

5．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t為參數），C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（Ⅰ）化C₁，C₂的方程為普通方程，并寫出C₁的極坐標方程；
（Ⅱ）若C₁上的點P對應的參數為t=$\frac{π}{2}$，Q為C₂上的動點，求PQ中點M到直線C₃=$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$  （t為參數）距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函數基本關系式消去參數，得到曲線的普通方程，再寫出C₁的極坐標方程；
（Ⅱ）根據橢圓的參數方程，設出橢圓上一點，求出點到直線距離后，研究其最小值，得到本題結論．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$ （t為參數），
消去t，可得（x+4）²+（y-3）²=1，即x²+y²+8x-6y+24=0，
極坐標方程為ρ²+8ρcosθ-6ρsinθ+24=0；
C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），消去θ，可得$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（Ⅱ））∵C₁上的點P對應的參數為t=$\frac{π}{2}$，
∴P（-4，4）．
∵Q為C₂上的動點，
∴設Q（8cosθ，3sinθ），
則M（$\frac{8cosθ-4}{2}$，$\frac{3sinθ+4}{2}$）
C₃=$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$  （t為參數），普通方程為x-2y-7=0，
d=$\frac{|4cosθ-2-3sinθ-4-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5cos（θ-ϕ）-13|}{\sqrt{5}}$，
∴PQ的中點M到直線x-2y-7=0的距離的最小值為$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查的是曲線的參數方程和普通方程的互化，以及曲線參數方程的應用，屬于中檔題．