Question

14．已知函數f（x）=（x²+bx+b）e^x．
（1）當b=1時，求函數f（x）的增區間．
（2）當0＜b≤2時，求函數f（x）在[-2b，b]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）當b=1時求出函數的f′（x）=（x²+3x+2）•e^x，利用導函數大于0，求解即可．
（2）求出函數的導函數f′（x）=[x²+（2+b）x+2b]e^x=（x+2）（x+b）e^x．求出極值點，通過極值點的大小，0＜b≤1時1＜b＜2時，利用函數的單調性，求出M即可．

解答 解：（1）當b=1時，f（x）=（x²+x+1）e^x，
所以f′（x）=（x²+3x+2）•e^x，
由f′（x）＞0，得x＞-1或x＜-2．
故函數f（x）的增區間為（-∞，-2），（-1，+∞）．----------（5分）
（2）因為f（x）=（x²+bx+b）e^x，所以f′（x）=[x²+（2+b）x+2b]e^x=（x+2）（x+b）e^x．
由f′（x）=0，得x=-2或x=-b．
當-2≤-2b，即0＜b≤1時，函數f（x）在（-2b，-b）上單調遞減，在（-b，b）上單調遞增，
所以M=max{f（-2b），f（b）}，
因為f（-2b）=（2b²+b）•e^-2b，
f（b）=（2b²+b）•e^b．
所以M=f（b）．
當-2b＜-2＜-b，即1＜b＜2時，函數f（x）在（-2b，-2）上單調遞增，在（-2，-b）上單調遞減，
在（-b，b）上單調遞增．
所以M=max{f（-2），f（b）}，
因為f（-2）=（4-b）•e^-2，
且（2b²+b）-（4-b）=2b²+2b-4
=2-＞0（1＜b＜2），
所以M=f（b）．
當-2=-b，即b=2時，f′（x）≥0，
函數f（x）在（-2b，b）上單調遞增，
所以M=f（b）．
綜上所述，M=f（b）=（2b²+b）e^b．----------（14分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的單調性以及函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．