Question

3．定義在R上的函數f（x），滿足f（x+1）=f（x-1），且f（x+2）=f（2-x），且f（x）在[-3，-2]上是減函數，如果A，B是銳角三角形的兩個內角，則（　　）

• A． f（sinA）＞f（cosB）
• B． f（cosB）＞f（sinA）
• C． f（sinA）＞f（sinB）
• D． f（cosB）＞f（cosA）

Answer 1

分析 由題意可知：函數為偶函數，周期為2，根據偶函數的對稱軸及單調性即可求得f（x）在[0，1]上為單調增函數，由α，β是銳角三角形的兩個內角，求得α和β的取值范圍，根據函數的單調性即可求得答案

解答 解：由f（x+2）=f（x），∴函數的周期為2，∵f（x）在[-3，-2]上為減函數，
∴f（x）在[-1，0]上為減函數，
∵f（2-x）=f（x+2）=f（x-2）∴f（x）=f（-x），f（x）為偶函數，
∴f（x）在[0，1]上為單調增函數．
∵在銳角三角形中，∵α，β是銳角，且∴α+β$＞\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{2}＞$α＞$\frac{π}{2}-β＞0$，∴sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，
∴f（x）在[0，1]上為單調增函數．
∴f（sinα）＞f（cosβ），
故選：A．

點評 本題主要考查了函數的奇偶性和周期性的應用，以及三角函數的圖象和性質，誘導公式的應用，綜合性較強，涉及的知識點較多，屬于中檔題．