Question

13．已知x=1是f（x）=2x+$\frac{b}{x}$+lnx的一個極值點．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）設函數g（x）=f（x）-$\frac{3+a}{x}$，若函數g（x）在區間[1，2]內單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，計算f′（1）=0，求出b的值即可；
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，求出g（x）的導數，問題轉化為a≥-2x²-x在[1，2]恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2-$\frac{b}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
x=1是f（x）=2x+$\frac{b}{x}$+lnx的一個極值點，
故f′（1）=2-b+1=0，解得：b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：g（x）=2x+$\frac{3}{x}$+lnx-$\frac{3}{x}$-$\frac{a}{x}$=2x+lnx-$\frac{a}{x}$，
若函數g（x）在區間[1，2]內單調遞增，
則g′（x）=2+$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{2}+x+a}{{x}^{2}}$，
則2x²+x+a≥0在[1，2]恒成立，
即a≥-2x²-x在[1，2]恒成立，
令h（x）=-2x²-x=-2${（x+\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{1}{8}$，x∈[1，2]，
h（x）在[1，2]遞減，h（x）_max=h（1）=-3，
故a≥-3．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數的極值問題，是一道中檔題．