Question

3．已知二項式${（{x+\frac{1}{2ax}}）^9}$的展開式中x³的系數為$-\frac{21}{2}$，則$\int_1^e{（{x+\frac{a}{x}}）}$dx的值為（　　）

• A． $\frac{{{e^2}+1}}{2}$
• B． $\frac{{{e^2}-3}}{2}$
• C． $\frac{{{e^2}+3}}{2}$
• D． $\frac{{{e^2}-5}}{2}$

Answer 1

分析 根據二項式展開式的通項公式，令展開式中x的指數為3求出r的值，寫出x³的系數，求得a的值，計算$\int_1^e{（{x+\frac{a}{x}}）}$dx的值．

解答 解：二項式${（{x+\frac{1}{2ax}}）^9}$展開式的通項公式為：
T_r+1=${C}_{9}^{r}$•x^9-r•${（\frac{1}{2ax}）}^{r}$=${C}_{9}^{r}$•${（\frac{1}{2a}）}^{r}$•x^9-2r，
令9-2r=3，解得r=3；
所以展開式中x³的系數為：
${C}_{9}^{3}$•${（\frac{1}{2a}）}^{3}$=$-\frac{21}{2}$，
解得a=-1；
所以$\int_1^e{（{x+\frac{a}{x}}）}$dx=${∫}_{1}^{e}$（x-$\frac{1}{x}$）dx=（$\frac{1}{2}$x²-lnx）${|}_{1}^{e}$=（$\frac{1}{2}$e²-1）-（$\frac{1}{2}$-0）=$\frac{{e}^{2}-3}{2}$．
故選：B．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．