Question

18．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρsin²θ=2cosθ，過點P（2，-1）的直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos{{45}°}}\\{y=-1+tsin{{45}°}}\end{array}}$（t為參數）與曲線C交于M、N兩點．
（1）求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）求|PM|²+|PN|²的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C：ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ利用極坐標與直角坐標之間的關系即可得出其直角坐標方程；消去參數t得到曲線C的直角坐標方：
（2）將直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos{{45}°}}\\{y=-1+tsin{{45}°}}\end{array}}$代入曲線C的標準方程：y²=2x得：t²-4$\sqrt{2}$t-6=0，利用直線的參數方程中t的幾何意義結合根與系數的關系，即可得出結論．

解答 解：（1）曲線C：ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標方程為y²=2x；
直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos{{45}°}}\\{y=-1+tsin{{45}°}}\end{array}}$（t為參數），消去t，可得直線l的普通方程x-y-3=0；
（2）將直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos{{45}°}}\\{y=-1+tsin{{45}°}}\end{array}}$代入曲線C的標準方程：y²=2x得：t²-4$\sqrt{2}$t-6=0，
∴|PM|²+|PN|²=|t₁|²+|t₂|²=（t₁-t₂）²+2t₁t₂=32．

點評 本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，考查參數的幾何意義．利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得．