Question

3．設函數f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，其中$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期與單調減區間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（A）=2．
①求A；
②若b=1，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求$\frac{b+c}{sinB+sinC}$的值．

Answer 1

分析 由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則計算$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，表示出函數的解析式，第一項利用二倍角的余弦函數公式化簡后，后兩項提取2，利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，
（1）找出ω的值，代入周期公式T=$\frac{2π}{|ω|}$中，即可求出函數的最小正周期，再由余弦函數的單調遞減區間為[2kπ，2kπ+π]列出關于x的不等式，求出不等式的解集可得出函數的遞減區間；
（2）①由f（A）=2，將x=A代入得到cos（2A-$\frac{π}{3}$）的值，由A為三角形的內角，得到A的范圍，進而確定出2A-$\frac{π}{3}$的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數．
②由三角形的面積公式可求c，利用余弦定理可求a，利用正弦定理，比例的性質即可得解．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=1+2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）=1+2cos（2x-$\frac{π}{3}$），
（1）∵ω=2，∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
則函數f（x）的單調遞減區間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（2）①∵f（A）=2，
∴1+2cos（2A-$\frac{π}{3}$）=2，
∴cos（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴2A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
∴2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，
則A=$\frac{π}{3}$．
②∵b=1，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c=2，
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．

點評 此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：平面向量的數量積運算法則，二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，余弦函數的單調性，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵，屬于中檔題．