Question

16．設函數f（x）=3ax²-2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）
（1）若a=1，函數f（x）在區間（0，1）和（1，+∞）上各有一個零點，求實數c的取值范圍；
（2）設a＞0，若f（x）＞-2cx+a對任意x∈[1，+∞）恒成立，求實數c的取值范圍；
（3）函數f（x）在區間（0，1）內是否有零點，如果有，請確定零點的個數，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入f（x），根據二次函數的性質得到關于a的不等式，解出即可；
（2）得到c＞-3ax²+2ax+a，令g（x）=-3ax²+2ax+a，a＞0，問題轉化為即c＞g（x）_max，根據函數的單調性求出c的范圍即可；
（3）求出二次函數的對稱軸，討論f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而f（ $\frac{a+c}{3a}$）＜0，根據根的存在性定理即可得到答案．

解答 解：（1）將a=1代入f（x），得：f（x）=3x²-2（1+c）c+c，
由函數f（x）在（0，1）和（1，+∞）上各有1個零點且函數開口向上，
得：f（1）＜0，即3-2（1+c）+c＜0，解得：c＞1；
（2）由f（x）＞-2cx+a，將f（x）代入得：
3ax²-2（a+c）x+c＞-2cx+a，
故c＞-3ax²+2ax+a，
令g（x）=-3ax²+2ax+a，a＞0，
f（x）＞-2cx+a對任意x∈[1，+∞）恒成立，
即c＞g（x）_max，
g（x）=-3a${（x-\frac{1}{3}）}^{2}$+$\frac{4}{3}$a，
由g（x）在x∈[1，+∞）遞減，g（x）max=g（1）=0，
∴c＞0，
故實數c的范圍是（0，+∞）；
（3）二次函數f（x）=3ax²-2（a+c）x+c圖象的對稱軸是x=$\frac{a+c}{3a}$，
若f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而f（ $\frac{a+c}{3c}$）=-$\frac{{（a-c）}^{2}+ac}{3a}$＜0，
所以函數f（x）在區間（0，$\frac{a+c}{3a}$）和（ $\frac{a+c}{3a}$，1）內分別有一零點．
故函數f（x）在區間（0，1）內有兩個零點；
若f（0）=c＜0，f（1）=a-c＞0，而f（$\frac{a+c}{3a}$）=-$\frac{{（a-c）}^{2}+ac}{3a}$＜0，
故函數f（x）在區間（0，1）內有一個零點．

點評 解決此類問題的關鍵是熟練掌握二次函數的有關性質，以及根的存在性定理．