Question

7．已知某企業1月份到6月份的利潤X（單位：萬元）受到市場的影響，是一個隨機變量，每個月的利潤互不影響，且X的分布列如表所示：

X	6	9	12	18
P	a	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{15}$

（1）求第1個月和第2個月的利潤不都高于9萬元的概率；
（2）求每個月的平均利潤；
（3）求證：4，5，6月份的總利潤是1，2，3月份的總利潤的3倍的概率為$\frac{1}{27000}$．

Answer 1

分析 （1）利用分布列的性質，求出a，既可以得到每個月利潤為不同情況的概率，根據相互獨立事件同時發生的概率運算公式求解．

解答 解：（1）∵a=1-$\frac{1}{3}-\frac{1}{10}-\frac{1}{15}$=$\frac{1}{2}$，∴任取一個月利潤不都高于9萬元的概率為：p=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$，第1個月和第2個月的利潤不都高于9萬元的概率p₁=$\frac{5}{6}×\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$；
（2）每個月的平均利潤E（X）=$6×\frac{1}{2}+9×\frac{1}{3}+12×\frac{1}{10}+18×\frac{1}{15}=8$萬元．
（3）4，5，6月份的總利潤是1，2，3月份的總利潤的3倍時，4，5，6月份的利潤都是6萬元，1，2，3月份的利潤都是18萬元，
其發生概率為p₂=$（\frac{1}{2}）^{3}×（\frac{1}{15}）^{3}=\frac{1}{2700}$．

點評 本題考查了隨機變量分布列、相互獨立事件的概率運算的基礎知識，屬于基礎題．