Question

19．設函數f（x）=x²+ax+b，
（1）若b=1，且f（x）＞0解集為R，求a的取值范圍．
（2）若方程f（x）=0在區間（0，1）和（1，2）上各有一解，求2a-b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）＞0，即x²+ax+1＞0的解集為R，則△=a²-4＜0，解得即可，
（2）由已知中方程x²+ax+b=0在區間（0，1）和（1，2）上各有一個根，根據方程的根與對應零點之間的關系，結合二次函數圖象的性質，易得到f（1）＜0，f（2）＞0，f（0）＞0．畫出約束條件表示的可行域，即可求解2a-b的范圍．

解答 解：（1）b=1，且f（x）＞0，即x²+ax+1＞0的解集為R，
∴△=a²-4＜0，
解得-2＜a＜2，
故a的范圍為（-2，2）
（2）∵函數f（x）=x²+ax+b，且方程f（x）=0在區間（0，1）和（1，2）上各有一解，
則函數f（x）=x²+ax+b在區間（0，1）和（1，2）上各有一個零點，
又∵f（x）=x²+ax+b是開口向上的拋物線，∴f（1）＜0，f（2）＞0，f（0）＞0．
∴f（1）=a+b+1＜0…①，
f（2）=4+2a+b＞0…②，
f（0）=b＞0…③
畫出約束條件①②③表示的可行域如圖：則2a-b=z，
經過可行域的A點即$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1=0}\\{4+2a+b=0}\end{array}\right.$，解得A（-2，3）時取得最小值為：-8，
經過B$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1=0}\\{b=0}\end{array}\right.$即B（-1，0），2a-b取得最大值-2，
2a-b的取值范圍用區間表示為（-8，-2）

點評 本題考查的知識點是一元二次方程根的分布與系數的關系，其中根據方程的根與對應零點之間的關系，線性規劃的應用是解答本題的關鍵．