Question

9．過點（1，3）且漸近線為y=±$\frac{1}{2}$x的雙曲線方程是$\frac{4{y}^{2}}{35}$-$\frac{{x}^{2}}{35}$=1，其實軸長是$\sqrt{35}$．

Answer 1

分析 由題意可知：根據雙曲線的性質可設雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=λ$，（λ≠0），將（1，3）即可求得λ的值，求得雙曲線的方程；則求得焦點在y軸上，則
實軸長2a=$\sqrt{35}$．

解答 解：由題意可知：設雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=λ$，（λ≠0），
則將（1，3）代入$\frac{1}{4}$-9=λ，解得：λ=$-\frac{35}{4}$，
∴雙曲線的方程：$\frac{4{y}^{2}}{35}$-$\frac{{x}^{2}}{35}$=1，
由雙曲線方程可知：焦點在y軸上，a²=$\frac{35}{4}$，則a=$\frac{\sqrt{35}}{2}$，
則實軸長2a=$\sqrt{35}$，
故答案為：$\frac{4{y}^{2}}{35}$-$\frac{{x}^{2}}{35}$=1，$\sqrt{35}$．

點評 本題考查雙曲線的標準方程的求法，考查已知漸近線方程及一個點求雙曲線的方程問題，考查計算能力，屬于基礎題．