Question

20．設函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}\\{x^2}-2x+2\end{array}\right.\begin{array}{l}（x≤1）\\（x＞1）\end{array}$，若關于x的方程f（x）-m=0有兩個不相等的實根，則實數m的取值范圍為（1，2]．

Answer 1

分析 畫出函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}\\{x^2}-2x+2\end{array}\right.\begin{array}{l}（x≤1）\\（x＞1）\end{array}$的圖象，和直線y=m，將關于x的方程f（x）=m有兩個不等的實根等價于f（x）的圖象與直線有且只有兩個交點．通過平移直線，觀察即可得到．

解答 解：畫出函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}\\{x^2}-2x+2\end{array}\right.\begin{array}{l}（x≤1）\\（x＞1）\end{array}$的圖象，
和直線y=m，
關于x的方程f（x）=m有兩個不等的實根等價于f（x）的圖象與直線有且只有兩個交點．
觀察得出：
1＜m≤2有且只有2個交點．
故實數k的取值范圍是（1，2]．
故答案為：（1，2]．

點評 本題考查方程的根的個數，考查數形結合的思想方法，注意轉化思想，轉化為函數的圖象的交點個數問題，屬于中檔題．