Question

4．在數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+ln（1+$\frac{1}{n}$）（n≥2），則a_n=（　　）

• A． 2+lnn
• B． 2+（n-1）lnn
• C． 2+nlnn
• D． 1+n+lnn

Answer 1

分析 a_n+1=a_n+ln（1+$\frac{1}{n}$）（n≥2），即a_n+1-a_n=ln（1+$\frac{1}{n}$）=$ln\frac{n+1}{n}$．可得a_n-a_n-1=ln$\frac{n}{n-1}$（n≥2）．再利用“累加求和”方法與對數的運算性質即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n+ln（1+$\frac{1}{n}$）（n≥2），
∴a_n+1-a_n=ln（1+$\frac{1}{n}$）=$ln\frac{n+1}{n}$．
∴a_n-a_n-1=ln$\frac{n}{n-1}$（n≥2）．
則a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=$ln\frac{n}{n-1}+ln\frac{n-1}{n-2}$+…+ln2+2
=$ln（\frac{n}{n-1}×\frac{n-1}{n-2}×…×\frac{3}{2}×2）$+2
=lnn+2．
故選：A．

點評 本題考查了“累加求和”方法與對數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．