Question

15．已知動圓P與定圓B：x²+y²+2$\sqrt{5}$x-31=0內切，且動圓P經過一定點$A（\sqrt{5}，0）$．
（1）求動圓圓心P的軌跡E的方程；
（2）設點（x，y）在軌跡E上，求x+2y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知圓的方程求出圓的圓心坐標和半徑，再由動圓P與定圓B內切，且過A（$\sqrt{5}$，0），可得|PA|+|PB|=6．由此可得動圓圓心P的軌跡E是以B、A為焦點，長軸長為6的橢圓，則橢圓方程可求；
（2）寫出橢圓的參數方程，然后利用輔助角公式化積，則x+2y的取值范圍可求．

解答 解：（1）由定圓B：x²+y²+2$\sqrt{5}$x-31=0，可得$（x+\sqrt{5}）^{2}+{y}^{2}=36$，
∴圓心B（-$\sqrt{5}$，0），半徑r=6，
∵動圓P與定圓B內切，且過A（$\sqrt{5}$，0），
∴|PA|+|PB|=6．
∴動圓圓心P的軌跡E是以B、A為焦點，長軸長為6的橢圓．
設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
則2a=6，a=3，c=$\sqrt{5}$，∴b²=a²-c²=4．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由橢圓的參數方程可得x=3cosθ，y=2sinθ，
則x+2y=3cosθ+4sinθ=5（$\frac{3}{5}cosθ+\frac{4}{5}sinθ$）=5sin（θ+φ），
其中tanφ=$\frac{3}{4}$．
∴x+2y的取值范圍是[-5，5]．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓的標準方程及參數方程，訓練了利用輔助角公式求三角函數的最值，是中檔題．