Question

3．已知關于x的函數f（x）=x²+bx+b+a．a，b為實數．
（1）若函數f（x）的值域為[0，+∞），且不等式f（x）＜c的解集為（t，t+2），求實數c值；
（2）若任意b∈R，總存在x₁∈r，使得f（x₁）＜0成立，求a的取值范圍；
（3）當b=1時，解不等式f（x）＜a（x²+1）

Answer 1

分析 （1）根據二次函數的值域為[0，+∞），可得△=0，不等式f（x）＜c的解集為（t，t+2），求解c是值．
（2）任意b∈R，總存在x₁∈r，使得f（x₁）＜0成立，即△＞0，分離參數，轉化為二次函數問題求解．
（3）當b=1時，化簡f（x），解不等式f（x）＜a（x²+1），對a進行討論可得答案．

解答 解：（1）由題意：函數f（x）的值域為[0，+∞），可得△=0，即a+b=$\frac{{b}^{2}}{4}$，那么a=$\frac{{b}^{2}}{4}$-b．
∴f（x）=x²+bx+$\frac{{b}^{2}}{4}$=（x+$\frac{b}{2}$）²
∵f（x）＜c，即$-c＜x+\frac{b}{2}＜c$，
解得：-c-$\frac{b}{2}$＜x＜c-$\frac{b}{2}$
又∵解集為（t，t+2），
可得：$2\sqrt{c}=2$，
∴c=1．
（2）總存在x₁∈r，使得f（x₁）＜0成立，
∴△＞0，即b²-4（a+b）＞0任意b∈R都成立，
∴a＜$\frac{1}{4}{b}^{2}-b$恒成立，
故得：a＜-1．
（3）當b=1時，函數f（x）=x²+x+1+a
解不等式f（x）＜a（x²+1）可化為：x²+x+1+a＜a（x²+1），
整理可得：（a-1）x²-x-1＞0．
，若a=1，則x＜-1，不等式解集為（-∞，-1）；
若a≠1，則△=4a-3，
當△=4a-3≤0，即$a≤\frac{3}{4}$時，不等式解集為：∅；
當△=4a-3＞0，且a＜1，即$\frac{3}{4}＜a＜1$時，不等式解集為（$\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2a-2}$，$\frac{1-\sqrt{4a-3}}{2a-2}$）；
當△=4a-3＞0，且a＞1，即a＞1時，不等式解集為（-∞，$\frac{1-\sqrt{4a-3}}{2a-2}$）∪（$\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2a-2}$，+∞）；
綜上可知：當$a≤\frac{3}{4}$時，解集為∅；
當$\frac{3}{4}＜a＜1$時，不等式解集為（$\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2a-2}$，$\frac{1-\sqrt{4a-3}}{2a-2}$）；
當a=1時，不等式解集為（-∞，-1）；
當a＞1時，不等式解集為（-∞，$\frac{1-\sqrt{4a-3}}{2a-2}$）∪（$\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2a-2}$，+∞）；

點評 本題考查了二次函數以及不等式的綜合運用能力和二次不等式的討論有解與無解的問題．屬于中檔難題．