Question

20．已知圓C：x²+y²=2，點P（2，0），M（0，2），設Q為圓C上一個動點．
（1）求△QPM面積的最大值，并求出最大值時對應點Q的坐標；
（2）在（1）的結論下，過點Q作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B兩點，若直線QA、QB的傾斜角互補，問直線AB與直線PM是否垂直？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出|PM|=2$\sqrt{2}$，設點Q到PM的距離為h，圓心C到PM的距離為d，△QPM面積的最大值即需要h取的最大值，此時點Q與圓心C的連線與PM垂直，由此能求出結果．
（2）設直線QA的斜率為k，則直線QB斜率為-k，直線QA的方程：y+1=k（x+1）聯立$\left\{\begin{array}{l}{y+1=k（x+1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+2k（k-1）x+k²-2k-1=0，從而求出x_A，x_B，由此能求出直線AB與直線PM垂直．

解答 解：（1）因為點P（2，0），M（0，2），所以|PM|=2$\sqrt{2}$，
設點Q到PM的距離為h，圓心C到PM的距離為d，
所以${S}_{△QPM}=\frac{1}{2}|PM|•h$=$\sqrt{2}h$．
△QPM面積的最大值即需要h取的最大值，
此時點Q與圓心C的連線與PM垂直，
故有最大值h=d+r=$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
最大面積${S}_{△QPM}=\sqrt{2}•2\sqrt{2}=4$，
此時點Q坐標為點（-1，-1）． 
（2）直線AB與直線PM垂直，理由如下：
因為過點Q（-1，-1）作兩條相異直線分別與圓C相交于A、B兩點，
直線QA、QB的傾斜角互補，所以直線QA、QB斜率都存在．
設直線QA的斜率為k，則直線QB斜率為-k，
所以直線QA的方程：y+1=k（x+1）
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y+1=k（x+1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+2k（k-1）x+k²-2k-1=0，
又因為點Q（-1，-1）在圓C上，
故有${x}_{A}•（-1）=\frac{{k}^{2}-2k-1}{1+{k}^{2}}$，
所以x_A=$\frac{-{k}^{2}+2k+1}{1+{k}^{2}}$，同理${x}_{B}=\frac{-{k}^{2}-2k+1}{1+{k}^{2}}$，
${k}_{AB}=\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{-k（{x}_{B}+1）-1-k（{x}_{A}+1）+1}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{-k（{x}_{B}+{x}_{A}）-2k}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=1，
又k_PM=$\frac{2-0}{0-2}=-1$，所以有k_PM•k_AB=-1，故直線AB與直線PM垂直．

點評 本題考查三角形面積的最大值及對應的點的坐標的求法，考查兩直線是否垂直的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意直線方程與圓的性質的合理運用．