Question

10．已知P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1右支上的一點，F₁，F₂是該雙曲線的左、右焦點，I為△PF₁F₂的內心，若S${\;}_{△IP{F}_{1}}$=S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+λS${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$成立，則λ的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{7}}{4}$
• B． $\frac{2\sqrt{7}}{7}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由題意可知：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{7}$，由${S}_{△IP{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，${S}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r，${S}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•r，由${S}_{△IP{F}_{1}}$=S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+λS${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，整理得：|PF₁|-|PF₂|=λ|F₁F₂|，根據雙曲線的定義可知：λ=$\frac{a}{c}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

解答 解：依題意，$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{7}$，
設△PF₁F₂的內切圓的半徑為r，
則${S}_{△IP{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，${S}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r，${S}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•r，
∵${S}_{△IP{F}_{1}}$=S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+λS${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，
∴${S}_{△IP{F}_{1}}$-S${\;}_{△IP{F}_{2}}$=λS${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，
$\frac{1}{2}$|PF₁|•r-$\frac{1}{2}$|PF₂|•r=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•r，
∴|PF₁|-|PF₂|=λ|F₁F₂|，
∴2a=2λc，
∴λ=$\frac{a}{c}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
λ的值$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
故選B．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質，主要考查離心率和定義的運用，同時考查三角形的面積公式的運用，運算求解能力，屬于中檔題．