Question

1．計(jì)算：$\underset{lim}{x→∞}（\frac{x}{1+x}）^{x}$=$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 令t=$\frac{1}{x}$，則當(dāng)x→+∞時(shí)，t→0，把要求的函數(shù)極限經(jīng)過轉(zhuǎn)化結(jié)合公式$\underset{lim}{n→∞}（1+\frac{1}{n}）^{n}=e$得答案．

解答 解：令t=$\frac{1}{x}$，則當(dāng)x→+∞時(shí)，t→0，
$\underset{lim}{x→∞}（\frac{x}{1+x}）^{x}=\underset{lim}{t→0}（\frac{\frac{1}{t}}{1+\frac{1}{t}}）^{\frac{1}{t}}$=$\underset{lim}{t→0}（\frac{1}{1+t}）^{\frac{1}{t}}$
=$\underset{lim}{t→0}（1+t）^{-\frac{1}{t}}$=$\underset{lim}{x→∞}[（1+\frac{1}{x}）^{x}]^{-1}=\frac{1}{e}$．
故答案為：$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的極限，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題．