Question

11．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P是正方體棱上的一點（不包括棱的點），且滿足|PB|+|PD₁|=2，則點P的個數為6．

Answer 1

分析 P應是橢圓與正方體與棱的交點，滿足條件的點應該在棱B₁C₁，C₁D₁，CC₁，AA₁，AB，AD上各有一點滿足條件，由此能求出結果．

解答 解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
∴AC₁=$\sqrt{3}$，
∵|PA|+|PC₁|=2，
∴點P是以2c=$\sqrt{3}$為焦距，以a=1為長半軸，以$\frac{1}{2}$為短半軸的橢圓，
∵P在正方體的棱上，
∴P應是橢圓與正方體與棱的交點，
結合正方體的性質可知，
滿足條件的點應該在棱B₁C₁，C₁D₁，CC₁，AA₁，AB，AD上各有一點滿足條件．
故答案為：6．

點評 本題考查滿足條件的點的個數的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．