Question

4．已知函數f（x）=（2k-1）lnx+$\frac{k}{x}$+2x，有以下命題：
①當k=-$\frac{1}{2}$時，函數f（x）在（0，$\frac{1}{2}}$）上單調遞增；
②當k≥0時，函數f（x）在（0，+∞）上有極大值；
③當-$\frac{1}{2}$＜k＜0時，函數f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調遞減；
④當k＜-$\frac{1}{2}$時，函數f（x）在（0，+∞）上有極大值f（${\frac{1}{2}}$），有極小值f（-k）．
其中正確命題的序號是（　　）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 求函數的導數，分別利用函數單調性和導數之間的關系進行判斷即可．

解答 解：函數的定義域為（0，+∞），
函數的導數f′（x）=$\frac{2k-1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$+2=$\frac{2{x}^{2}+（2k-1）x-k}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+k）（2x-1）}{{x}^{2}}$=$\frac{2（x+k）（x-\frac{1}{2}）}{{x}^{2}}$，
①當k=-$\frac{1}{2}$時，f′（x）=$\frac{2（x-\frac{1}{2}）^{2}}{{x}^{2}}$≥0恒成立，則函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
則在（0，$\frac{1}{2}}$）上單調遞增，故①正確；
②當k≥0時，由f′（x）＞0得x＞$\frac{1}{2}$，此時函數為增函數，
由f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{1}{2}$，此時函數為減函數，即當x=$\frac{1}{2}$時，函數f（x）存在極小值，
即可函數f（x）在（0，+∞）上有極大值錯誤，故②錯誤；
③當-$\frac{1}{2}$＜k＜0時，則0＜-k＜$\frac{1}{2}$，
由f′（x）＜0得-k＜x＜$\frac{1}{2}$，
由f′（x）＞0得0＜x＜-k或x＞$\frac{1}{2}$，即函數f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調遞增；故③錯誤，
④當k＜-$\frac{1}{2}$時，-k＞$\frac{1}{2}$，由f′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞-k，此時函數單調遞增，
由f′（x）＜0得$\frac{1}{2}$＜x＜-k，即函數為減函數，即函數f（x）在（0，+∞）上有極大值f（${\frac{1}{2}}$），
有極小值f（-k）．故④正確，
故正確命題的序號①④，
故選：C

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數的單調性和導數的關系，考查學生的計算能力．