Question

18．以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數，0＜α＜π），拋物線C的直角坐標方程為y²=2x．
（1）求拋物線C的準線的極坐標方程；
（2）設直線l與拋物線C相交于A，B兩點，證明|AB|≥2．

Answer 1

分析 （1）由y²=2x得準線方程為x=-$\frac{1}{2}$，即可求拋物線C的準線的極坐標方程；
（2）將直線l的參數方程代入y²=2x，利用根與系數的關系、弦長公式及參數的幾何意義即可得出．

解答 解：（1）由y²=2x得準線方程為x=-$\frac{1}{2}$，
所以拋物線C的準線的極坐標方程為ρcosθ=-$\frac{1}{2}$．
（2）將直線l的參數方程代入y²=2x，得t²sin²α-2tcosα-1=0．
設A、B兩點對應的參數分別為t₁、t₂，則
t₁+t₂=$\frac{2cosα}{sin2α}$，t₁t₂=-$\frac{1}{sin2α}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\frac{2}{sin2α}$，當α=$\frac{π}{2}$，|AB|取最小值2，
∴|AB|≥2．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線與拋物線相交問題、一元二次方程的根與系數的關系、弦長公式及參數的幾何意義等基礎知識與基本技能方法，屬于基礎題．