Question

11．已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=120°，AB=AC=1，AA₁=2，若棱AA₁在正視圖的投影面α內，且AB與投影面α所成角為θ（30°≤θ≤60°），設正視圖的面積為m，側視圖的面積為n，當θ變化時，mn的最大值是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用AB與投影面α所成角為θ，∠BAC=120°，AB=AC=1，AA₁=2，∠BAD=θ，建立正視圖的面積為m和側視圖的面積為n的關系，利用30°≤θ≤60°求解mn的最大值．

解答 解：AB與投影面α所成角為θ時，平面ABC如下圖所示：
∴BC=$\sqrt{3}$，∠ACE=60°-θ，
∴BD=ABsinθ，DA=ABcosθ，AE=ACcos（60°-θ），
ED=DA+AE=cos（60°-θ）+cosθ
故正視圖的面積為m=ED×AA₁=2[cos（60°-θ）+cosθ]
側視圖的面積為n=BD×AA₁=2sinθ
∴mn=4sinθ[cos（60°-θ）+cosθ]
=4sinθ[cos60°cosθ+sinθsin60°）+cosθ]
=sin2θ+2$\sqrt{3}$sin²θ+2sin2θ
=3sin2θ+$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cos2θ
=2$\sqrt{3}$sin（2θ-30°）$+\sqrt{3}$
∵30°≤θ≤60°
∴30°≤2θ-30°≤90°，
所以：2$\sqrt{3}$≤mn≤3$\sqrt{3}$
故得mn的最大值為3$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查了三視圖的投影的認識和理解，實體圖邊長與投影圖邊長的關系．利用其夾角建立關系是解題的關鍵．屬于中檔題．