Question

1．設向量$\overrightarrow{a}$=（λ+2，λ²-$\sqrt{3}$cos2α），$\overrightarrow{b}$=（m，$\frac{m}{2}$+sinαcosα），其中λ，m，α為實數．
（1）若α=$\frac{π}{12}$，求|$\overrightarrow{b}$|的最小值；
（2）若$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$，求$\frac{λ}{m}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據向量的模的定義和二次函數的性質即可求出，
（2）根據$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$，結合三角函數的恒等變換，求出m的取值范圍，再求$\frac{λ}{m}$的取值范圍即可．

解答 解：（1）當a=$\frac{π}{12}$時，$\overrightarrow{b}$=（m，$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{4}$），
∴|$\overrightarrow{b}$|²=$\frac{5}{4}$m²+$\frac{m}{4}$+$\frac{1}{16}$=$\frac{5}{4}$（m²+$\frac{1}{5}$m）+$\frac{1}{16}$=$\frac{5}{4}$（m+$\frac{1}{10}$）²+$\frac{1}{20}$，
∴|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{10}$
（2）∵$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$，向量$\overrightarrow{a}$=（λ+2，λ²-$\sqrt{3}$cos2α），$\overrightarrow{b}$=（m，$\frac{m}{2}$+sinαcosα），
∴λ+2=2m，λ²-$\sqrt{3}$cos2α=m+sin2α
∴4m²-9m+4=sin2α+$\sqrt{3}$cos2α=2sin（2α+$\frac{π}{3}$），
∵-2≤2sin（2α+$\frac{π}{3}$）≤2，
∴-2≤4m²-9m+4≤2，
解得$\frac{1}{4}$≤m≤2
而$\frac{λ}{m}$=2-$\frac{2}{m}$，
∴$\frac{λ}{m}$∈[-6，1]

點評 本題考查了平面向量的應用問題，也考查了三角恒等變換的應用問題，還考查了求函數的最值問題，是綜合題．