Question

11．已知函數f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}-1}$
（1）判斷函數f（x）在（0，+∞）上的單調性，并證明你的結論；
（2）求函數f（x）在[1，log₂6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）直接根據單調性的定義即可證明，
（2）由（1）可知函數f（x）在[1，log₂6]為減函數，代值計算即可得到最大值和最小值．

解答 解：（1）：f（x）在（0，+∞）上是減函數；
證明如下：
任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂；
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=2•$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$
∵0＜x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}$＞0，
∴${2}^{{x}_{1}}$-1＞0，${2}^{{x}_{2}}-1$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0；
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數，
（2）由（1）可知函數f（x）在[1，log₂6]為減函數，
∴f（x）_max=f（1）=$\frac{2}{2-1}$=2，
f（x）_min=f（log₂6）=$\frac{2}{6-1}$=$\frac{2}{5}$

點評 本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，以及根據函數的單調性求最值，屬于基礎題．