Question

2．已知函數f（x）=x+$\frac{a}{x}$，且f（1）=2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判斷函數f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調性并加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用f（1）=2，求得a的值．
（Ⅱ）根據函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足f（-x）=-f（x），可得函數f（x）為奇函數．
（Ⅲ）利用函數的單調性的定義證明f（x）在（1，+∞）上的單調遞增．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=x+$\frac{a}{x}$，且f（1）=1+a=2，∴a=1．
（Ⅱ）∵函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$ 的定義域{x|x≠0}，關于原點對稱，
且f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x），故函數f（x）為奇函數．
（Ⅲ）函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$ 在（1，+∞）上單調遞增，理由如下：設1＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）-（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{•x}_{2}-1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，
由題設可得，x₁-x₂＜0，$\frac{{x}_{1}{•x}_{2}-1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（1，+∞）上單調遞增．

點評 本題主要考查求函數的值，函數的奇偶性的判斷方法，證明函數的單調性，屬于中檔題．