Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD
（Ⅰ）證明：BD⊥PC
（Ⅱ）若AD=6，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出PA⊥BD，AC⊥BD，PA，從而BD⊥平面PAC，由此能證明BD⊥PC．
（Ⅱ）設AC∩BD=O，連接PO，則∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角，從而∠DPO=30°，推導出BD⊥PO，AC⊥BD，求出梯形ABCD的高，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC內的兩條相交直線，
∴BD⊥平面PAC，而PC?平面PAC，∴BD⊥PC．…（5分）
解：（Ⅱ）設AC∩BD=O，連接PO，
由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，
∴∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角，∴∠DPO=30°，
由BD⊥平面PAC，PO?平面PAC，知BD⊥PO．
在Rt△POD中，由∠DPO=30°，得PD=2OD．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，
∴△AOD，△BOC均為等腰直角三角形，
從而梯形ABCD的高為$\frac{1}{2}$AD+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×（6+2）=4，
于是S_ABCD=$\frac{1}{2}$×（6+2）×4=16．
在等腰三角形AOD中，OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=3$\sqrt{2}$，
∴PD=2OD=6$\sqrt{2}$，PA=$\sqrt{P{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{72-36}$=6，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$S_ABCD×PA=$\frac{1}{3}$×16×6=32．…（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．