Question

4．在經濟學中，函數f（x）的邊際函數Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每年最多生產80臺某種型號的大型計算機系統，生產x臺（x∈N^*）的收入函數為R（x）=300x-2x²（單位：萬元），其成本函數為C（x）=80x+600（單位：萬元），利潤是收入與成本之差．
（1）求利潤函數P（x）及邊際利潤函數MP（x）；
（2）①該公司生產多少臺時獲得的利潤最大？
②利潤函數P（x）與邊際利潤函數MP（x）是否具有相同的最大值？

Answer 1

分析 （1）利用已知條件通過P（x）=R（x）-C（x）求解函數的解析式，以及邊際利潤函數MP（x）的解析式；
（2）①通過P（x）=-2（x-55）²+5450，利用二次函數的性質求解即可；
②利用MP（x）是減函數，求解即可．

解答 解：由題意知，x∈[1，80]，且x∈N^*
（1）P（x）=R（x）-C（x）=300x-2x²-（80x+600）=-2x²+220x-600，
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-2（x+1）²+220（x+1）-600-[-2x²+220x-600]=-4x+218
（2）①P（x）=-2（x-55）²+5450，當x=55時，P（x）的最大值為5450（萬元）．
該公司產生55臺時利潤最大．
②又MP（x）=-4x+218是減函數，所以當x=1時，MP（x）的最大值為214（萬元）．
因此，利潤函數P（x）與邊際利潤函數MP（x）不具有相同的最大值．

點評 本題考查實際問題的處理方法，二次函數的簡單性質的應用，函數的單調性的應用，考查計算能力．