Question

15．設函數f（x）=ka^x-a^-x（a＞0）且a≠0）是奇函數．
（1）求k的值；
（2）若f（1）＞0，解關于x的不等式f（x+2）+f（x-4）＞0
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$且對任意的x∈[1，+∞），不等式a^2x+a^-2x-2mf（x）+2≥0恒成立，求實數m取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數的奇偶性直接求解即可．
（2）判斷函數的單調性，然后轉化不等式求解即可．
（3）求出a，設g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）+2=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+4．設t=f（x）=2^x-2^-x，則g（t）=t²-2mt+4=（t-m）²+4-m²．通過m的范圍討論求解即可．

解答 （本小題滿分16分）
解：（1）因為f（x）是奇函數，且f（0）有意義，所以f（0）=0，所以k-1=0，k=1．…（2分）
（2）因為f（1）＞0，所以a-$\frac{1}{a}$＞0，∴a＞1，∴f（x）=a^x-a^-x是R上的單調增函數．…（4分）
于是由f（x+2）＞-f（x-4）=f（4-x），得x+2＞4-x，解得x＞1．…（6分）
所以不等式的解集是{x|x＞1}．…（8分）
（3）因為f（1）=$\frac{3}{2}$，所以a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，解得a=2（a＞0），…（10分）
設g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）+2=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+4．
設t=f（x）=2^x-2^-x，則由x≥1，得t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，…（12分）
g（t）=t²-2mt+4=（t-m）²+4-m²．
若m≥$\frac{3}{2}$，則當t=m時，y_min=4-m²≥0，解得$\frac{3}{2}≤m≤2$．
若m＜$\frac{3}{2}$，則當t=$\frac{3}{2}$時，y_min=$\frac{25}{4}-3m≥0$，解得m＜$\frac{3}{2}$．…（14分）
綜上得m≤2…（16分）

點評 本題考查函數恒成立，二次函數的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力．