Question

4．定義在R上的偶函數f（x）滿足：對任意的x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，且f（2）=0，則不等式$\frac{2f（x）+f（-x）}{5x}$＜0的解集是（-∞，-2）∪（0，2）．

Answer 1

分析 根據條件判斷函數的單調性，根據函數奇偶性和單調性之間的關系，作出函數f（x）的圖象，利用數形結合將不等式進行轉化即可解不等式即可．

解答 解：∵任意的x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
∴此時函數f（x）為減函數，
∵f（x）是偶函數，∴當x≥0時，函數為增函數，
則不等式$\frac{2f（x）+f（-x）}{5x}$＜0等價為$\frac{3f（x）}{5x}$＜0，即xf（x）＜0，
∵f（-2）=-f（2）=0，
∴作出函數f（x）的草圖：
則xf（x）＜0等價為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
即x＜-2或0＜x＜2，
故不等式的解集為（-∞，-2）∪（0，2）．
故答案為：（0，2）∪（-∞，-2）

點評 本題主要考查不等式的解集，利用函數奇偶性和單調性之間的關系是解決本題的關鍵．