Question

15．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（5-a）x-4a，x＜1}\\{{a}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的增函數，則實數a的取值范圍是（1，5）．

Answer 1

分析 若函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（5-a）x-4a，x＜1}\\{{a}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的增函數，則每段函數均為增函數，且當x=1時，前一段函數的函數值不大于后一段函數的函數值，由此可構造滿足條件的不等式組，解出實數a的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（5-a）x-4a，x＜1}\\{{a}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的增函數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{5-a-4a≤a}\\{5-a＞0}\end{array}\right.$，
解得：1＜a＜5，
故實數a的取值范圍是：（1，5），
故答案為：（1，5）

點評 本題考查的知識點是函數單調性的性質，熟練掌握分段函數的單調性是解答的關鍵．