Question

7．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1點E，F，G分別是DD₁，AB，CC₁的中點，則異面直線A₁E與GF所成的角是（　　）

• A． 90°
• B． 60°
• C． 45°
• D． 30°

Answer 1

分析 異面直線所成的角通過平移相交，找到平面角，轉化為平面三角形的角求解，由題意：E，F，G分別是DD₁，AB，CC₁的中點，連接B₁G，FB₁，那么∠FGB₁就是異面直線A₁E與GF所成的角．

解答 解：由題意：ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，E，F，G分別是DD₁，AB，CC₁的中點，連接B₁G，
∵A₁E∥B₁G，
∴∠FGB₁為異面直線A₁E與GF所成的角．
連接FB₁，
在三角形FB₁G中，AA₁=AB=2，AD=1，
B₁F=$\sqrt{（\frac{1}{2}AB）^{2}+A{{A}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{5}$
B₁G=$\sqrt{（\frac{1}{2}A{A}_{1}）^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
FG=$\sqrt{C{F}^{2}+（\frac{1}{2}A{A}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
B₁F²=B₁G²+FG²．
∴∠FGB₁=90°，
即異面直線A₁E與GF所成的角為90°．
故選A．

點評 本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．