Question

19．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（6-a）x-4a\\{log_a}x\end{array}\right.\begin{array}{l}（x＜1）\\（x≥1）\end{array}$滿足[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0對任意定義域中的x₁，x₂成立，則實數a的取值范圍是$[\frac{6}{5}，6）$．

Answer 1

分析 函數是一個分段函數，函數f（x）在其定義域內是單調增函數，故函數在每一段上是增函數，在整個定義域內也是增函數，再比較端點值即可．

解答 解：∵[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0對任意定義域中的x₁，x₂成立，
∴函數f（x）在其定義域內是單調增函數，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（6-a）x-4a\\{log_a}x\end{array}\right.\begin{array}{l}（x＜1）\\（x≥1）\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6-a＞0}\\{a＞1}\\{lo{g}_{a}1≥6-a-4a}\end{array}\right.$，
解得$\frac{6}{5}$≤a＜6，
故答案為：[$\frac{6}{5}$，6）

點評 本題考查增函數的定義，對數函數、一次函數的單調性，體現了分類討論的數學思想．