Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{b}$=1和直線l：y=mx+1，若對任意的m∈R，直線l與橢圓C恒有公共點，則實數b的取值范圍是[1，4）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 由已知直線過定點（0，1），可得（0，1）在橢圓內部或在橢圓上，然后分類討論得答案．

解答 解：∵直線l：y=mx+1恒過定點（0，1），
∴要使直線l與橢圓C恒有公共點，
則（0，1）在橢圓內部或在橢圓上，
若橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{b}$=1是焦點在x軸上的橢圓，則1≤b＜4；
若橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{b}$=1是焦點在y軸上的橢圓，則b＞4．
∴實數b的取值范圍是：[1，4）∪（4，+∞）．
故答案為：[1，4）∪（4，+∞）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查直線系方程的應用，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．