Question

2．已知函數f（x）=||x-1|-1|，關于x的方程f（x）=t恰有4個不等實根的個數，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則x₁+x₂+x₃x₄的范圍是（3，4）．

Answer 1

分析 求出函數f（x）的表達式，作出函數f（x）的圖象，求得t的范圍，用t分別表示出x₁，x₂，x₃，x₄，結合二次函數的值域即可得到．

解答 解：f（x）=||x-1|-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x＜0}\\{x，0＜x＜1}\\{-x+2，1＜x＜2}\\{x-2，x≥2}\end{array}\right.$，
由圖可知，若f（x）=t的四個互不相等的實數根，
則t∈（0，1），
且x₁，x₂，x₃，x₄分別為
-x₁=t，x₂=t，-x₃+2=t，x₄-2=t，
即x₁=-t，x₂=t，x₃=2-t，x₄=2+t，
則x₁+x₂+x₃x₄=-t+t+（2-t）（2+t）=4-t²，
由t∈（0，1），可得x₁+x₂+x₃x₄∈（3，4）．
故答案為：（3，4）．

點評 本題主要考查函數與方程的應用，作出函數的解析式，利用數形結合分別用t表示出x₁，x₂，x₃，x₄的值是解決本題的關鍵．綜合性較強，屬于中檔題．