Question

9．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右頂點與右焦點的距離為$\sqrt{3}$-1，短軸長為2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過左焦點F的直線與橢圓分別交于A、B兩點，若△OAB（O為直角坐標原點）的面積為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓右頂點與右焦點的距離為$\sqrt{3}$-1，短軸長為2$\sqrt{2}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，不符合題意；當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k（x+1），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0，由此利用韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積公式，結合已知條件能求出直線AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右頂點與右焦點的距離為$\sqrt{3}$-1，短軸長為2$\sqrt{2}$．
∴由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a-c=\sqrt{3}-1}\\{b=\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，…．（1分）
解得a=$\sqrt{3}$，c=1．…（3分）
所以所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，|AB|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
此時S_△AOB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$不符合題意故舍掉．…..（6分）
當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，…..7分
消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0，…（8分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}}\end{array}\right.$，…．…..（9分）
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{36{k}^{4}}{（2+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{12{k}^{2}-24}{2+3{k}^{2}}]}$=$\sqrt{\frac{48（{k}^{2}+1）^{2}}{（2+3{k}^{2}）^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}（{k}^{2}+1）}{2+3{k}^{2}}$…．…（11分）
原點O到直線的AB距離d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，…..…（12分）
∴三角形的面積${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}•\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}（{k}^{2}+1）}{2+3{k}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，…..…（13分）
解得k=$±\sqrt{2}$．…..…（14分）
直線AB的方程為y=$\sqrt{2}$（x+1），或y=-$\sqrt{2}$（x+1）．
即$\sqrt{2}x-y+\sqrt{2}=0$，或$\sqrt{2}x+y+\sqrt{2}=0$…．（15分）

點評 本題考查橢圓方程、直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積公式的合理運用．