Question

6．已知f（x）是定義在區間[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，且f（x）是增函數．
（1）解不等式f（x+$\frac{1}{2}$）+f（x-1）＜0
（2）若f（x）≤t²-2at+1對所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤x-1≤1}\\{x+\frac{1}{2}＜1-x}\end{array}\right.$即可求得不等式f（x+$\frac{1}{2}$）+f（x-1）＜0的解集；
（3）先求得f（x）_max=f（1）=1，將問題轉化為：t²-2at+1≥1對a∈[-1，1]恒成立，構造函數f（a）=-2ta+t²，則f（a）≥0對a∈[-1，1]恒成立，解關于t的不等式組即可．

解答 解：（1）∵f（x）在區間[-1，1]上是增函數且f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤x-1≤1}\\{x+\frac{1}{2}＜1-x}\end{array}\right.$，
∴0≤x＜$\frac{1}{4}$，
∴解集為：{x|0≤x＜$\frac{1}{4}$}；
（2）f（x）_max=f（1）=1．
f（x）≤t²-2at+1對所有x∈[-1，1]恒成立，則t²-2at+1≥1對a∈[-1，1]恒成立，
構造函數f（a）=-2ta+t²，則f（a）≥0對a∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2t＞0}\\{2t+{t}^{2}≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2t＜0}\\{-2t+{t}^{2}≥0}\end{array}\right.$或t=0，
解得：t≤-2或t=0或t≥2．

點評 本題考查函數恒成立問題，難點在于（2）f（x）≤t²-2at+1對所有x∈[-1，1]恒成立，轉化為t²-2at+1≥f（x）_max=1對a∈[-1，1]恒成立，突出考查化歸思想與綜合分析與應用的能力，屬于難題．