Question

14．設函數f（x）=-cos²x-4t•sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2t²-6t+2（x∈R），其中t∈R，將f（x）的最小值記為g（t）
 （1）求g（t）的表達式；
（2）當-1＜t＜1時，要使關于t的方程g（t）=kt有且僅有一個實根，求實數k的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換的應用化簡f（x）=（sinx-t）²+t²-6t+1，分t＜-1、-1≤t≤1、t＞1三類討論，可分別求得f（x）的最小值g（t），從而可得g（t）的表達式；
（2）依題意知，關于t的方程 t²-6t+1-kt=0 在（-1，1）內有且只有一個實根．分①當△=（6+k）²-4=0時，應有-1＜$\frac{6+k}{2}$＜1，與②當△=（6+k）²-4＞0時，應有（k+8）（-k-4）＜0，從而可得實數k的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=-cos²x-4t•sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2t²-6t+2
=sin²x-2t•sinx+2t²-6t+1=（sinx-t）²+t²-6t+1，
當t＜-1時，則當sinx=-1時，f（x）取得最小值g（t）=（-1-t）²+t²-6t+1=2t²-4t+2．
當-1≤t≤1時，則當sinx=t時，f（x）的最小值g（t）=t²-6t+1．
當t＞1時，則當sinx=1時，f（x）的最小值g（t）=（1-t）²+t²-6t+1=2t²-8t+2．
綜上，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{2t}^{2}-4t+2，t＜-1}\\{{t}^{2}-6t+1，-1≤t≤1}\\{{2t}^{2}-8t+2，t＞1}\end{array}\right.$．
（3）當-1＜t＜1時，關于t的方程g（t）=kt
即t²-6t+1=kt有且僅有一個實根?關于t的方程 t²-6t+1-kt=0 在（-1，1）內有且只有一個實根，
①當△=（6+k）²-4=0時，應有-1＜$\frac{6+k}{2}$＜1，解得 k∈∅．
②當△=（6+k）²-4＞0時，即 k＜-8，或k＞-4時，
令h（t）=t²-6t+1-kt，由題意可得  h（-1）h（1）=（k+8）（-k-4）＜0，解得 k＜-8，或 k＞-4．
綜合①②可得，當k＜-8，或 k＞-4 時，關于t的方程g（t）=kt有且只有一個實根．
故所求的實數k的取值范圍為（-∞，-8）∪（-4，+∞）．

點評 本題考查根的存在性根的個數判斷，突出考查分類討論思想、等價轉化思想與函數方程思想的綜合運用，屬于難題．