Question

1．為了保護一件珍貴文物，博物館需要在一種無色玻璃的密封保護罩內充入保護氣體．假設博物館需要支付的總費用由兩部分組成：①罩內該種氣體的體積比保護罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體費用1千元；②需支付一定的保險費用，且支付的保險費用與保護罩容積成反比，當容積為2立方米時，支付的保險費用為8千元．
（1）求博物館支付總費用y與保護罩容積V之間的函數關系式；
（2）求博物館支付總費用的最小值；
（3）如果要求保護罩為正四棱柱形狀，高規定為2米，當博物館需支付的總費用不超過9.5千元時，求保護罩底面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由需要支付的總費用由兩部分組成，當容積為2立方米時，支付的保險費用為8千元，可求比例系數，從而可求支付總費用y與保護罩容積V之間的函數關系式；
（2）由（1）得：y=1000V+$\frac{16000}{V}$-500利用基本不等式可求出當且僅當1000V=$\frac{16000}{V}$，博物館支付總費用的最小值；
（3）由題意得不等式：1000V+$\frac{16000}{V}$-500≤9500，V=2S，代入整理得：S²-5S+4≤0，即可求保護罩底面積的最大值．

解答 解：（1）依據題意，當保護罩體積等于V時，保險費用為$\frac{k}{V}$（其中k為比例系數，k＞0）
且當V=2時，$\frac{k}{V}$=8000，∴k=16000，…（2分）
∴y=1000（V-0.5）+$\frac{16000}{V}$=1000V+$\frac{16000}{V}$-500（V＞0.5）．（單位：元）…（6分）
（2）y=1000V+$\frac{16000}{V}$-500≥7500
當且僅當1000V=$\frac{16000}{V}$，即V=4立方米時不等式取得等號．
所以，博物館支付總費用的最小值為750元．  （10分）
（3）由題意得不等式：1000V+$\frac{16000}{V}$-500≤9500，V=2S，
代入整理得：S²-5S+4≤0，解得1≤S≤4．  …（15分）
所以面正方形的面積最大可取4平方米． …（16分）

點評 本題考查函數模型的構建，考查利用基本不等式求函數的最值，解題的關鍵是構建函數，注意基本不等式的使用條件．