Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，上頂點為A，過A與AF₂垂直的直線交x軸負半軸于Q點，且2

F1F2

+

F2Q

=

0

．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若過A、Q、F₂三點的圓恰好與直線x-

3

y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（Ⅲ）過F₂的直線l與（Ⅱ）中橢圓交于不同的兩點M、N，則△F₁MN的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用A（0，b），F₁為QF₂的中點．設F₁（-c，0），F₂（c，0），則Q（-3c，0），

AQ

=(-3c，-b)通過

AQ

⊥

AF2

，列出c的方程，求出c，即可得到離心率．
（Ⅱ）利用Rt△QAF₂外接圓與直線相切，推出d=r，求出c=1，然后糾錯a，b，即可求橢圓C的方程．
（Ⅲ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用設△F₁MN的內切圓的半徑為R，得到△F₁MN的周長為4a=8，表示出△F₁MN內切圓的面積表達式，說明R最大，S△F1MN也最大．可設直線l的方程為x=my+1，與橢圓聯立，通過韋達定理
化簡S△F1MN=

12 m2+1

3m2+4

，利用基本不等式求出最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題A（0，b），F₁為QF₂的中點．
設F₁（-c，0），F₂（c，0），則Q（-3c，0）

AQ

=(-3c，-b)，

AF2

=(c，-b)
由題

AQ

⊥

AF2

，即

AQ

•

AF2

=-3c2+b2=0，∴-3c²+（a²-c²）=0即a²=4c²∴e=

c

a

=

1

2

（Ⅱ）由題Rt△QAF₂外接圓圓心為斜邊QF₂的中點F₁（-c，0），半徑r=2c，∵由題Rt△QAF₂外接圓與直線x-

3

y-3=0相切∴d=r，即

|-c-3|

2

=2c，即c+3=4c∴c=1，a=2c=2，b=

3

故所求的橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅲ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由題y₁，y₂異號．
設△F₁MN的內切圓的半徑為R，則△F₁MN的周長為4a=8，S△F1MN=

1

2

(|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R，
因此要使△F₁MN內切圓的面積最大，只需R最大，此時S△F1MN也最大．S△F1MN=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=|y1-y2|，
 由題知，直線l的斜率不為零，可設直線l的方程為x=my+1，
由  

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

得（3m²+4）y²+6my-9=0，
由韋達定理得y1+y2=

-6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

，（△＞0⇒m∈R）S△F1MN=|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

12 m2+1

3m2+4

令t=

m2+1

，則t≥1S△F1MN=

12t

3t2+1

=

12

3t+ 1 t

（t≥1），
當t=1時S△F1MN=4R有最大值3．此時，m=0，Rmax=

3

4

故△F₁MN的內切圓的面積的最大值為

9π

16

，此時直線l的方程為x=1

點評：本題考查橢圓的基本性質，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．