Question

在運用計算機（器）作函數圖象時，經常用到“符號函數”S（x）=

1，x≥0 0，x＜0.

例如要表示分段函數g（x）=

x， x＞2 -x， x＜2

，可以將g（x）表示為g（x）=x•S（x-2）+（-x）•S（2-x）輸入計算機，則計算機就會畫出函數g（x）的圖象．設f（x）=（-x²+4x-3）•S（x-1）+（x²-1）•S（1-x）（x≠1）．
（1）請把函數y=f（x）寫成分段函數的形式；
（2）畫出函數y=f（x）的大致圖象；
（3）設F（x）=f（x+k），是否存在實數k，使得F（x）為奇函數？若存在，寫出滿足條件的k值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）分當x＞1、當x=1和當x＜1時3種情況加以討論，分別根據S（x）的對應法則代入，可得f（x）相應范圍內的表達式，最后綜合可得函數f（x）寫成分段函數的形式；
（2）畫分段函數每一段的圖象即可；
（3）根據第（2）問畫的圖象，結合函數圖象的平移知識，使圖象關于原點對稱，即可得到奇函數．

解答： 解：（Ⅰ）分情況討論：
①當x＞1時，S（x-1）=1且S（1-x）=0，得f（x）=（-x²+4x-3）×1+（x²-1）×0=-x²+4x-3；
②當x=1時，S（x-1）=S（1-x）=1，得f（x）=（-x²+4x-3）×1+（x²-1）×1=4x-4；
③當x＜1時，S（x-1）=0且S（1-x）=1，得f（x）=（-x²+4x-3）×0+（x²-1）×1=x²-1
∴f(x)=

-x2+4x-3，x＞1 4x-4，x=1 x2-1，x＜1

（2）函數y=f（x）的大致圖象：

（3）若F（x）為奇函數，則F（x）的圖象應關于原點對稱，
因為k＞0時，F（x）=f（x+k）的圖象可以看成是把函數f（x）的圖象向左平移k個單位得到，
又∵函數f（x）的圖象關于點A（1，0）對稱，∴只要把函數f（x）的圖象向左平移1個單位后，圖象就關于原點對稱，
∴當k=1時，函數F（x）的圖象應關于原點對稱，則F（x）為奇函數．

點評：本題以分段函數和二次函數為載體，討論函數的奇偶性，著重考查了基本初等函數的圖象與性質、函數解析式的求解及常用方法和奇偶性與函數平移等有關知識的綜合考查．