Question

已知圓x²+y²=1，過這個圓上任意一點P作y軸的垂線段PD，D為垂足，求線段PD的中點M的軌跡．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出點M的坐標為（x，y），點P的坐標為（x₀，y₀），由PD⊥y軸得到D的坐標，再由M為PD的中點把P的坐標用M的坐標表示，代入圓的方程得答案．

解答： 解：設點M的坐標為（x，y），點P的坐標為（x₀，y₀）．
∵PD⊥y軸于D，
∴點D坐標為（0，y₀），
∵M為PD的中點，
∴

x= x0 2 y= y0+y0 2 =y0

，即

x0=2x y0=y

（1）
∵P（x₀，y₀）在圓上，
∴x02+y02=1（2）
把（1）代入（2）得4x²+y²=1，即

x2

1 4

+y2=1．
∴的軌跡是一個橢圓．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了代入法，是中檔題．