Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，直線x=

a2

c

與雙曲線的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)（A在B的上方），P是C上任意一點(diǎn)，

OP

=λ

OA

+μ

OB

（λ、μ∈R），則λμ=（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、2
• D、

  2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由題意可得c=2a，從而化簡(jiǎn)3x²-y²=3a²，A（

a

2

，

1

2

3

a），B（

a

2

，-

1

2

3

a），P（

a

2

（λ+μ），

3

2

（λ-μ）a）；代入即可求出．

解答： 解：由題意可得，

c

a

=2，
故c=2a，
故雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1可化為3x²-y²=3a²，
漸近線方程為

3

x±y=0，
直線x=

a2

c

=

a

2

，
故A（

a

2

，

1

2

3

a），B（

a

2

，-

1

2

3

a），
則由

OP

=λ

OA

+μ

OB

可得，
P（

a

2

（λ+μ），

3

2

（λ-μ）a）；
則3（

a

2

（λ+μ）a）²-（

3

2

（λ-μ）a）²=3a²，
解得，λμ=1．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的定義及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．